November 3rd, 2021

pf

Количество и качество, или О пользе линкора "Ямато"

Давненько мы не брались за исследование операций. Сегодня речь пойдёт о неочевидных свойствах квадратичного закона Осипова-Ланчестера, описывающего "прицельный огонь".

В народе представления о нём довольно предвзятые. Считается, что количество однозначно заруливает качество: если красных вдвое больше, чем синих, то для компенсации численного превосходства эффективность огня синих должна быть аж вчетверо выше. Тогда стороны будут стачивать друг друга в равной мере. При этом как-то забывается, что "скорость убийства" врагов не самоцель — целью обычно является уничтожение какого-то определённого количества противника с наименьшими возможными потерями. Это "определённое количество" может быть разным, в зависимости от условий, и никогда не достигает 100% — "всех убивать" просто не нужно. Также не следует забывать про фактор времени, который часто оказывается важнейшим из всех. Учёт всех этих тонкостей ставит под сомнение народную максиму "количество важнее качества", а то и опровергает её. Сейчас мы это увидим.

Итак, изначально у нас есть следующие соотношения:

Collapse )

Здесь M и N — зависящие от времени количества красных и синих соответственно, а μ и ν — их коэффициенты огневой мощи ("сколько юнитов противника уничтожает один юнит за единицу времени"). Минусы означают, что количество юнитов у сторон со временем уменьшается.

Из этой системы — обозначим её (*) — можно извлечь следующие уравнения:

Collapse )

M0 и N0 — начальные количества красных и синих, M и N — конечные их количества. Первое уравнение — это хорошо всем известный квадратичный закон, связывающий начальные и конечные количества сторон друг с другом. Второе уравнение показывает зависимость количества красных M от времени t — собственно, это результат решения задачи Коши для системы (*). Третье уравнение обратно второму — это зависимость прошедшего времени T от текущего количества красных M. (Легко видеть, что выражения для N(t) и T(N) будут те же, надо только поменять местами M0 с N0, M с N и μ с ν.)

Теперь можно кое-что прикинуть. Предположим, что для победы над противником достаточно его уполовинить. Допустим, у него 100 юнитов, надо их сократить до 50. "Количественный" способ победить состоит в том, чтобы выставить больше единиц, чем есть у противника, "качественный" — выставить пусть и не больше, но более "метких". Рассмотрим две ситуации — мы либо выставляем против врага вдвое больше своих юнитов равного вражескому качества, либо выставляем столько же юнитов, сколько у противника, но с эффективностью огня вдвое выше. Интуиция подсказывает, что первый, "количественный" способ будет предпочтительнее. Однако вопрос — а насколько? Если подсчитать, то получим, что при выборе "качественного" способа абсолютные потери окажутся выше лишь на 6%, а времени весь процесс займёт всего лишь на 7% больше. "В пределах погрешности", я считаю. Это если нам для победы нужно убить половину врагов. А если меньше, то разница между способами будет ещё незаметнее. Как можно видеть, у количества над качеством не такое уж большое преимущество.

На практике это означает, что "качественный" путь часто может быть предпочтительнее "количественного". Так, если в примере выше стоит выбор, выставить против каждых двух юнитов врага три своих того же качества или "за те же деньги" выставить столько же, но на 60% более метких — выгоднее будет второй вариант. Всё зависит от конкретных условий, конкретных цифр, и результаты расчётов не всегда такие очевидные, как можно было бы подумать.

Вот потому-то упомянутый в заглавии линкор "Ямато" не был такой уж бессмысленной тратой средств. В реальных условиях качество вполне может оказаться выгоднее количества. При этом бывают ситуации, когда обеспечить подавляющее количественное превосходство просто невозможно ("нет верфей"), но можно вырваться вперёд в качестве, и именно этот путь даст лучшие шансы на победу.