September 10th, 2016

pf

(no subject)

О "непостижимой эффективности математики" в описании реального мира. Хотя я считаю, что она не так уж непостижимо эффективна, многие удивляются, что она вообще способна что-то адекватно описывать. Правомерно ли такое удивление?

Одно из основных свойств нашего мира — устойчивость и воспроизводимость его явлений (в сущности, устойчивость и воспроизводимость — это одно и то же). Без этого нас бы здесь не было, и никто философскими вопросами не задавался бы. Чтобы мы всё-таки были, атомы должны быть стабильными, они должны соединяться в молекулы единообразным образом, планеты, где это происходит, должны крутиться по более-менее постоянным орбитам, ну и так далее. Если всё это на самом деле непостоянно (атомы рано или поздно распадаются, планеты рано или поздно выбрасываются из своих систем, ...), то у нас есть какой-то шанс возникнуть лишь в течение того отрезка времени, когда явлениям свойственна относительная стабильность/воспроизводимость. Математика же и есть специальная наука, занимающаяся изучением постоянных отношений: дважды два всегда будет равно четырём, сколько раз ни складывай. Поэтому, разумеется, она вполне пригодна для мира, где разного рода постоянства представлены довольно широко.

Но тут возникает вопрос, почему наша математика именно такая, а не иная. Почему в ней 2*2=4? Конечно, этот конкретный факт прямо следует из аксиоматики, но дело в том, что изначально-то у нас никакой аксиоматики не было, а было лишь множество наблюдений: два яблока и ещё два яблока дают четыре яблока, два камня и два камня дают четыре камня, и так всегда. Похоже, тут какая-то закономерность. Похоже, её можно считать за правило. Аксиоматику придумали много позже. Первоначально была кондовая жизненная практика, теорию на неё натянули потом. Математика вытекает не из отвлечённых размышлений, а из наблюдений за действительностью. 2*2=4 — природный факт.

Возможна ли альтернативная математика, где 2*2 равно 5, а 7*8 будет 67? Если да, и это строго доказано, то встаёт вопрос, почему в нашей Вселенной реализовалась именно та, а не другая математика? Если нет, и это строго доказано, то это ничего не доказывает — ведь доказательство существует в рамках нашей Вселенной с её конкретной математикой. Почему не может быть другой вселенной с другой математикой, где 2*2=5, а 7*8=67? Для населяющих её существ наша Вселенная с её 2*2=4 была бы математическим абсурдом. Возможно такое или нет, но оно по крайней мере мыслимо. Мы и сами нередко переживаем нечто схожее с попаданием в такую вселенную — когда нам снится занимательный сон, полный всяких важных событий, исполненных глубокого смысла и строго подчинённых внутренней логике сна, но потом мы просыпаемся и обнаруживаем, что пережитое во сне технически невозможно перевести на язык бодрствования — в нём просто нет таких понятий, потому что бодрствующему сознанию недоступны те движения мысли, которые свободно совершались им во сне, и в результате память не может удержать воспоминаний о сновидении, и сновидение, ставшее бредом, забывается навсегда. Но для мира сновидения бредом был бы наш реальный мир. "И вместе им не сойтись".

Но если математика локальна, то чем тогда она отличается от физики? Гёделя часто поминают всуе, но здесь, я думаю, ссылка на него будет уместна — он как раз доказал, что арифметика невыводима. То есть "2*2=4" ниоткуда не следует, оно просто есть, оно берётся из опыта, как значения фундаментальных констант. Не Вселенная подчиняется законам математики, а математика подчиняется законам Вселенной. Получается, что физика более фундаментальна, чем математика. Или, если угодно, математика — это такой раздел теоретической физики.

Возможно, немало математиков согласились бы с тем, что их занятие никакое не абстрактное искусство (как многие почему-то думают), а вполне себе экспериментальная наука, призванная описывать явления реального мира. Собственно, они ведь именно так и работают: сначала чисто эмпирически обнаруживаются новые закономерности, потом их подробно исследуют, доказывают теоремы, а уже потом всё это постепенно оформляется в новые понятия и разделы. Новые математические сущности обычно не высасываются из пальца (зачем усложнять?), а вылезают сами, как новые тяжёлые частицы из коллайдера. Вылезли — и дальше их следует описать и по возможности подробно изучить.