foxhound_lj (foxhound_lj) wrote,
foxhound_lj
foxhound_lj

Category:

„Заткнуться — и считать“

Рекомендую всем заценить эту лекцию. Именно оттуда я взял упомянутый мною факт, что 20-30% публикуемых математических работ ошибочны. Эта лекция своего рода научный прон: в ней лихо срывается сразу несколько покровов, в результате чего обнаруживается, что математика далеко не та приличная барышня, за какую себя выдаёт. Например, выясняется, что математическое доказательство как таковое — в том виде, в каком оно присутствует в современной математике, — не доказывает на самом деле ровным счётом ничего, помимо того факта, что его автор ему верит. В общем, да, следовало ожидать чего-то подобного. Доказательство имеет отношение скорее к физиологии, чем к собственно математике. Как в своё время высказался на эту тему Наше Всё:

— Видишь ли, Рама, — сказал он, — пока ты молод, твой организм вырабатывает все нужные гормоны, и мозговые рецепторы в норме. В это время любое «дважды два четыре» будет сиять несомненным светом истины. Но это просто отраженный свет твоей жизненности. Точно так же ее отражает, например, музыка. В юности всегда много хорошей музыки, а потом ее почему-то перестают писать. Так думает каждый человек, когда вырастает. Или женщины. В молодости они кажутся такими привлекательными. А когда тебе за шестьдесят и начинаются проблемы со здоровьем, все это становится куда менее важным, чем пищеварение или суставы...
— Вы хотите сказать, что истина в нас самих? — спросил я.
— Да. Но люди часто вкладывают в эти слова какой-то высокий смысл. Напрасно. Истина имеет не метафизическую, а химическую природу. До тех пор, пока в тебе достаточно жизненной силы, для нее всегда найдется словесное выражение. Всегда можно будет придумать заклинание, вызывающее в нейронных цепях твоего мозга возбуждение, которое будет переживаться как священное дыхание истины. А какими будут слова, не играет большой роли, потому что все слова равны друг другу — это просто зеркала, в которых отражается ум.


Словом, у доказательства какого-либо математического утверждения нет другого "сертификата качества", чем согласие с данным доказательством математического сообщества. Это и есть подлинное определение "математического доказательства": доказательство есть то, что математики приняли как доказательство. Вот только мнение математиков... скажем так, оно склонно к измене и к перемене. Вавилов приводит пример Евклида: в геометрической части его книжки, с современной точки зрения, неправильно ну абсолютно всё. Однако люди ведь по ней учились две тысячи лет, и всё это время она не вызывала у профессионалов никаких особенных нареканий. То есть её понимали. Раньше. А вот сегодня — уже нет. Более свежий пример — корректность доказательств у Коши: Вавилов говорит, что почитал его учебник, осилил три статьи — и бросил: "наверное, там всё такое". Но тут ведь сразу встаёт вопрос об основаниях матана. А дальше экстраполяция: если и классики косячили, и современники публикуют хрен знает что, то уже вся математическая теория оказывается под вопросом касательно её корректности.

Но мякотка состоит в том, что на самом деле для успешного решения конкретных задач теория, строго говоря, не нужна. Например, есть сайты типа mathprofi.ru, где безо всякой теории на пальцАх разжёвано, как решать соответствующие задачи из матана. Некоторая практика — и самый отъявленный гуманитарий будет делать это не хуже человека с профильным образованием. Причём для этого ему совсем не нужно знать, что там существует для любого эпсилон больше нуля. Всё отлично считается и так. Но ведь всё отлично считалось и до Коши с его формализацией. Получается, единственный смысл математической теории — помочь математику придумать новый работающий способ "исчисления винных бочек". Противоречива ли теория — а какая разница, не всё ли равно, каким именно путём человек выкручивал себе мозг, чтобы прийти к практически полезному результату?

Собственно, математика — это оно и есть. Часто за её основу принимают именно абстрактные теории, тогда как их практические приложения считаются только приятным побочным эффектом. Но на деле всё наоборот, суть математики — её практические приложения, тогда как теория — просто один большой черновик, где крутятся всевозможные идеи, некоторые из которых иногда помогают прийти к какому-то полезному в народном хозяйстве результату. Вавилов добавляет, что, по его мнению, математика тоже является инструментом изучения реальности, и поэтому, раз уж о доверии к теории речи идти не может, какое-то доверие может быть только к вычислениям. Я с этим никак не могу согласиться. По мне, так доверять нельзя ни теории, ни вычислению. Действительно, если мы не можем разобраться с истинностью или ложностью достаточно сложных доказательств, то с чего мы решили, что с достаточно сложными вычислениями будет иначе? Можно провести мысленный эксперимент: предположим, что нам требуется проверить, является ли простым какое-то очень большое число A. Для этого можно воспользоваться компьютером, который через некоторое время даст нам ответ: "да" или "нет". Предположим, он дал ответ "нет". Теперь запустим на нём программу проверки числа A ещё раз. Какой будет ответ? Очевидно, опять "нет". Но с какой стати это вдруг очевидно? Что, если он ответит "да"? IRL это вполне может случиться, ошибки и сбои никто не отменял. Как тогда определить, какой ответ верен? Запустить программу много раз и набрать статистику. Если окажется, что в 99% случаев компьютер давал ответ "нет", то именно этот ответ верен, а 1% ответов "да" — ошибка опыта. Тут, правда, есть и такая возможность, что у компьютера имеется заводской дефект, из-за чего при проверке числа A он ошибается практически всегда, и только в редких случаях может дать верный ответ. (Кстати, совершенно реальная возможность: в 90-е был случай, как из-за конструкторского просчёта какой-то тип интеловских процессоров выдавал ошибку при делении одного определённого числа на другое. Обнаружить этот баг удалось как раз во время проверки больших чисел на простоту.)

Очевидно, для более надёжной проверки числа A мы будем вынуждены использовать дополнительно какой-то другой компьютер. Если каждый из компьютеров в 99% случаев даст один и тот же ответ "нет", то мы сможем с довольно высокой степенью уверенности сказать, что число A не является простым. Но абсолютной уверенности тут всё равно не будет, мы можем говорить лишь о какой-то вероятности того, что полученный результат верен. Пусть она и очень близка к единице, всё же есть шанс ошибки (вдруг оба компьютера оказались бракованными?). С другой стороны, кто сказал, что для всех типов вычислений правильный результат обязательно будет получаться в подавляющем большинстве независимых вычислительных экспериментов? Что, если для определённых типов вычислений вероятностное распределение результатов "да"/"нет" будет очень сложным и неоднозначным? Что, если в определённых ситуациях нельзя будет верифицировать результат независимой проверкой на другой вычислительной системе? Что, если сам смысл понятий "true"/"false" в конце концов будет размыт? Короче, нет никаких оснований считать, что конкретным расчётам, в отличие от абстрактных доказательств, всегда можно доверять.

Но, как я уже сказал выше, ничего страшного здесь нет. Математика, как ни странно, тоже естественная наука, выполняющая ту же функцию, что и физика, химия или биология, только в своей области. Эта функция состоит в создании такого описания "реальности" — то есть той ЁНХ, что дана нам в ощущениях, — которое позволяло бы хоть иногда делать хоть какие-то хоть сколь-нибудь достоверные прогнозы. Для того современную математику и создавали. Весь мистический ореол, что её окружает, частью является наследием тёмных веков прошлого, а частью — следствием банального ЧСВ нынешних математиков, позабывших, кто они такие и зачем вообще нужны на свете.

Tags: мышление, наука, софистика
Subscribe

  • Справедливый мир

    =Одна из наиболее устойчивых традиций человечества, по крайней мере в известной мне части культуры, это victim blaming = Форма психологической…

  • (no subject)

    И как всегда, один из самых шкурных и при этом непонятных вопросов для нас, жителей бедовой РФ - ПОЧЕМУ У НАС НЕ ТАК?? Почему, к примеру, в том же…

  • (no subject)

    Плач потребляди: Поверьте, когда невозможно подстричься, сходить в кафе, спортзал, бассейн или зайти в супермаркете и купить там нотный альбом -…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments